TVについての補足

式変形

関数 \(\phi(x)\) の、厳密な定義によるTotal Variation

\[\max_{g^2\le1}\int\phi(x) \ \nabla\cdot g(x) \ dx\]

の中の積分を変形したいと思います。

そこで \(\nabla\cdot(\phi g)\) について考えます。 ベクトル成分を書き下すと

\[\nabla\cdot(\phi g) = {\partial\over\partial x_1}(\phi g_1) + {\partial\over\partial x_2}(\phi g_2)\]

であり、積分してグリーンの公式を適用すると

\[\begin{array}{ll} \int\int\left({\partial\over\partial x_1}(\phi g_1) +{\partial\over\partial x_2}(\phi g_2)\right)dx_1dx_2 &=\oint(\phi g_1dx_2-\phi g_2dx_1) \\ &=\oint\phi g\cdot dn \end{array}\]

となります。 周回積分は、\(x\) 平面上で関数（画像）\(\phi\) が定義されている領域の境界線上で取ります。 \(dn=(dx_2,-dx_1)\) はその境界線の線素を直角に回転させたものです。

簡単のため周回積分をゼロにしたいので、\(g\) は境界線上で境界線に対して平行（ \(g\cdot dn=0\) ）と仮定します。 したがって、結局

\[\int\nabla\cdot(\phi g)dx=0\]

です。 一方で積の微分を考えると

\[\nabla\cdot(\phi g) = \phi \ \nabla\cdot g+g\cdot\nabla\phi\]

なので、

\[\int\phi(x) \ \nabla\cdot g(x) \ dx = -\int g(x)\cdot\nabla\phi(x) dx\]

が成り立ちます。

式評価

先の式変形により、

\[\max_{g^2\le1}\int\phi \ \nabla\cdot g \ dx = \max_{g^2\le1} \ -\int g\cdot\nabla\phi dx\]

となります。 ここでベクトル \(g\) は半径1の円盤上にあるので \(g \leftrightarrow -g\) としても一緒です：

\[\max_{g^2\le1}\int\phi \ \nabla\cdot g \ dx = \max_{g^2\le1}\int g\cdot\nabla\phi dx\]

さて最大値をとるとき、幾何学的に考えれば、ベクトル \(g\) が全ての点 \(x\) においてベクトル \(\nabla\phi\) と平行で、大きさが1であればいいと思われます。 （もちろんこれは厳密な考え方ではありません。 たとえばそのような \(g\) が微分可能で連続な関数として存在するかどうか？など無視しています。） このとき \(g\cdot\nabla\phi=|\nabla\phi|\) なので、

\[\max_{g^2\le1}\int\phi \ \nabla\cdot g \ dx = \int|\nabla\phi|dx\]

となり、Total Variation の最初の定義に戻りました。

厳密な証明はどうやら難しそうなので、まだ見ることすらしていません！