初期値と終了基準

初期値は $x_0= \left[ \begin{matrix} \hat x_0 \\ \hat y_0 \\ \hat s_0 \\ \hat \tau_0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] ,\qquad y_0=0$ とする。

Pock/Chambolleの一次法の反復において、$x_k$ は $\mathbf{prox}^\tau_{G}$ による射影の後のため必ず $x_k \in \mathbb{R}^n \times \mathcal{K}^\ast \times \mathcal{K} \times \mathbb{R}_+$ となっており、 主・双対の錐の制約条件を満たしている。 この状況のもと、終了基準は参考文献[1]と同等のものを適用する。

$\hat \tau^k > \varepsilon_\mathrm{zero}$ の場合

収束判定

$\begin{array}{rl} & \frac{\|A \hat x_k / \hat\tau_k + \hat s_k / \hat\tau_k - b\|}{1 + \|b\|} \le \varepsilon_\mathrm{acc} \\ \land& \frac{\|A^T \hat y_k / \hat\tau_k + c\|}{1 + \|c\|} \le \varepsilon_\mathrm{acc} \\ \land& \frac{\|c^T \hat x_k / \hat\tau_k + b^T \hat y_k / \hat\tau_k\|}{1 + |c^T \hat x_k / \hat\tau_k| + |b^T \hat y_k / \hat\tau_k|} \le \varepsilon_\mathrm{acc} \end{array}$ を満たすとき、解 $x^\star=\hat x_k / \hat\tau_k,\ y^\star=\hat y_k / \hat\tau_k$ に収束したと判定し、終了する。

$\hat \tau^k \le \varepsilon_\mathrm{zero}$ の場合

下限なし判定

$-c^T \hat x_k > \varepsilon_\mathrm{zero} \quad \land \quad \|A \hat x_k + \hat s_k\|\frac{\|c\|}{-c^T \hat x_k} \le \varepsilon_\mathrm{inf}$ を満たすとき、主問題の下限なし（双対問題の実行可能な解なし）と判定し、終了する。

実行不可能判定

$-b^T \hat y_k > \varepsilon_\mathrm{zero} \quad \land \quad \|A^T \hat y_k\|\frac{\|b\|}{-b^T \hat y_k} \le \varepsilon_\mathrm{inf}$ を満たすとき、主問題の実行可能な解なしと判定し、終了する。